Q5 Matemática (EGMO 2017)

05 | EGMO | 2017 | Matemática

Seja $n \geq 2$ um inteiro. Uma $n$ -tupla $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de inteiros positivos não necessariamente diferentes é cara se existir um inteiro positivo $k$ tal que $(a_{1} + a_{2}) (a_{2} + a_{3}) p o n t os (a_{n - 1} + a_{n}) (a_{n} + a_{1}) = 2^{2 k - 1} .$ a) Encontre todos os inteiros $n \geq 2$ para os quais existe uma tupla $n$ cara. b) Prove que para todo inteiro positivo ímpar $m$ existe um inteiro $n \geq 2$ tal que $m$ pertence a uma tupla $n$ cara. Existem exatamente $n$ fatores no produto do lado esquerdo.