Q2 Matemática  (EGMO 2017)

Encontre o menor inteiro positivo $k$ para o qual existe uma coloração dos inteiros positivos ${\mathbb{Z}}_{>0}$ com $k$ cores e uma função $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$ com as duas propriedades a seguir: $(i)$ Para todos os inteiros positivos $m,n$ da mesma cor, $f(m+n)=f(m)+f(n).$ $(ii)$ Existem inteiros positivos $m,n$ tais que $f(m+n)\ne f(m)+f(n).$ Em uma coloração de $mathbb{Z}_{>0}$ com cores $k$, cada inteiro é colorido em exatamente uma das cores $k$. Tanto em $(i)$ quanto em $(ii)$ os inteiros positivos $m,n$ não são necessariamente distintos.