Q5 Matemática  (Danube Competition in Mathematics 2014)

Dois círculos ${\gamma }_1$ e ${\gamma }_2$ se cruzam em dois pontos; seja $A$ um desses pontos. A tangente a ${\gamma }_1$ em $A$ encontra novamente ${\gamma }_2$ em $B$, a tangente a ${\gamma }_2$ em $A$ encontra novamente ${\gamma }_1$ em $C$ e a reta $BC$ encontra novamente ${\gamma }_1$ e ${\gamma }_2$ em $D_1$ e $D_2$, respectivamente. Sejam $E_1$ e $E_2$ pontos interiores dos segmentos $A{D}_1$ e $A{D}_2$, respectivamente, tal que $A{E}_1=A{E}_2$. As linhas $B{E}_1$ e $AC$ se encontram em $M$, as linhas $C{E}_2$ e $AB$ se encontram em $N$ e as linhas $MN$ e $BC$ se encontram em $P$. Mostre que a reta $PA$ é tangente ao círculo $ABC$.