Q6 Matemática (Czech-Polish-Slovak Match 2021)

06 | Czech-Polish-Slovak Match | 2021 | Matemática

Seja $A BC$ um triângulo agudo e suponha que os pontos $A, A_{b}, B_{a}, B, B_{c}, C_{b}, C, C_{a},$ e $A_{c}$ estejam em seu perímetro nesta ordem. Seja $A_{1} \neq = A$ o segundo ponto de interseção das circunferências dos triângulos $A A_{b} C_{a}$ e $A A_{c} B_{a}$ . Analogamente, $B_{1} \neq = B$ é o segundo ponto de interseção das circunferências dos triângulos $B B_{c} A_{b}$ e $B B_{a} C_{b}$ , e $C_{1} \neq = C$ é o segundo ponto de interseção das circunferências dos triângulos $C C_{a} B_{c}$ e $C C_{b} A_{c}$ . Suponha que os pontos $A_{1}, B_{1},$ e $C_{1}$ sejam todos distintos, estejam dentro do triângulo $A BC$ e não estejam em uma única linha. Prove que as linhas $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1},$ e a circunferência do triângulo $A_{1} B_{1} C_{1}$ passam por um ponto comum. Josef Tkadlec (República Tcheca), Patrik Bak (Eslováquia)