Q5 Matemática  (Czech-Polish-Slovak Match 2021)

A sequência $a_1,a_2,a_3,\dots$ satisfaz $a_1=1$, e para todo $n\ge 2$, vale dizer que $$a_n=\{\begin{array}{l}{a}_{n-1}+3\text{if}n-1\in \{a_1,a_2,\dots ,,a_{n-1}\};\\ a_{n-1}+2\text{caso contraˊrio}.\end{array}$$Prove que para todos os inteiros positivos n, temos $$a_n<n\cdot (1+\sqrt{2}).$$ Dominik Burek (Polônia) (também conhecido como Burii)