Q3 Matemática  (Czech-Polish-Slovak Match 2017)

Seja $k$ um inteiro positivo fixo. Uma sequência finita de inteiros $x_1,x_2,...,x_n$ é escrita em um quadro-negro. Pepa e Geoff estão jogando um jogo que se desenrola em rodadas da seguinte forma. - Em cada rodada, Pepa primeiro divide a sequência que está no quadro-negro em duas ou mais subsequências contíguas (ou seja, compostas por números que aparecem consecutivamente). No entanto, se o número dessas subsequências for maior que $2$, então a soma dos números em cada uma delas deve ser divisível por $k$. - Então Geoff seleciona uma das subsequências que Pepa formou e apaga todas as outras subsequências do quadro-negro. O jogo termina quando resta apenas um número no tabuleiro. Prove que Pepa pode escolher seus movimentos para que, independentemente dos movimentos de Geoff, o jogo termine após no máximo $3k$ rodadas. (Polônia)