Q3 Matemática  (Czech-Polish-Slovak Match 2016)

Seja $n$ um inteiro positivo. Para um conjunto finito $M$ de inteiros positivos e cada $i\in \{0,1,...,n-1\}$, denotamos $s_i$ o número de subconjuntos não vazios de $M$ cujos soma dos elementos dá resto $i$ após a divisão por $n$. Dizemos que $M$ é "$n$-balanceado" se $s_0=s_1=....=s_{n-1}$. Prove que para cada número ímpar $n$ existe um subconjunto $n$-balanceado não vazio de $\{0,1,...,n\}$. Por exemplo, se $n=5$ e $M=\{1,3,4\}$, temos $s_0=s_1=s_2=1,s_3=s_4=2$ então $M$ não é $5$-balanceado .(República Checa)