Q5 Matemática (Czech-Polish-Slovak Match 2009)

05 | Czech-Polish-Slovak Match | 2009 | Matemática

$n$ -tupla $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ de inteiros satisfaz o seguinte: (i) $1 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} \leq 50$ (ii) para cada $n$ -tupla $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ de inteiros positivos, existe um inteiro positivo $m$ e uma $n$ -tupla $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ de inteiros positivos tal que $m b_{i} = c_{i}^{a_{i}} for i = 1, 2, \dots, n .$ Prove que $n \leq 16$ e determine o número de $n$ -tuplas $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ) que satisfazem essas condições para $n = 16$ .