Q3 Matemática  (Czech-Polish-Slovak Match 2009)

Seja $\omega$ o círculo tangente ao lado $BC$ do triângulo $ABC$. Uma reta $\ell$ paralela a $BC$ encontra os lados $AB$ e $AC$ nos pontos $D$ e $E$, respectivamente. Seja ${\omega }^{\prime }$ a circunferência do triângulo $ADE$. A tangente de $D$ a $\omega$ (diferente da linha $AB$) e a tangente de $E$ a $\omega$ (diferente da linha $AC$) se encontram no ponto $P$. A tangente de $B$ a ${\omega }^{\prime }$ (diferente da linha $AB$) e a tangente de $C$ a ${\omega }^{\prime }$ (diferente da linha $AC$) se encontram no ponto $Q$. Prove que, independente da escolha de $\ell$, existe um ponto fixo pelo qual a reta $PQ$ sempre passa.