Q6 Matemática  (Czech-Polish-Slovak Match 2004)

Na mesa há $k\ge 3$ pilhas de $1,2,\dots ,k$ pedras. Na primeira etapa, escolhemos três dos heaps, os mesclamos em um único novo heap e removemos $1$ de pedra desse novo heap. Depois disso, na etapa $i$-th ($i\ge 2$) nós mesclamos três pilhas contendo mais de $i$ pedras no total e removemos $i$ pedras da nova pilha. Suponha que, após alguns passos, um único monte de pedras $p$ permaneça na mesa. Mostre que o número $p$ é um quadrado perfeito se e somente se são ambos $2k+2$ e $3k+1$. Encontre o menor $k$ com esta propriedade.