Q2 Matemática  (Czech-Polish-Slovak Match 2000)

Seja $ABC$ um triângulo, $k$ seu círculo e $k_a,k_b,k_c$ três círculos ortogonais a $k$ passando por $B$ e $C,A$ e $C$ e $A$ e $B$, respectivamente. Os círculos $k_a,k_b$ se encontram novamente em $C^{\prime }$ ; da mesma forma obtemos os pontos $B^{\prime }$ e $A^{\prime }$ . Prove que o raio da circunferência de $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ é metade do raio de $k$ .