Q6 Matemática  (Cono Sur Olympiad 2017)

sequência infinita $a_1,a_2,a_3,\dots$ de inteiros positivos é definida da seguinte forma: $a_1=1$, e para cada $n\ge 2$, $a_n$ é o menor inteiro positivo, distinto de $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ tal que: $$\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n-1}+\dots +\sqrt{a_2+\sqrt{a_1}}}}$$é um inteiro. Prove que todos os inteiros positivos aparecem na sequência $a_1,a_2,a_3,\dots$