Q2 Matemática  (Cono Sur Olympiad 2011)

Os números $1$ a $4^n$ são escritos em um quadro. Em cada passo, Pedro apaga dois números $a$ e $b$ do quadro e escreve em seu lugar o número $\frac{ab}{\sqrt{2a^2+2b^2}}$. Pedro repete este procedimento até restar apenas um número. Prove que este número é menor que $\frac{1}{n}$, independente dos números que Pedro escolheu em cada passo.