Q3 Matemática  (Cono Sur Olympiad 2010)

Vamos definir o corte de um polígono convexo com $n$ lados escolhendo um par de lados consecutivos $AB$ e $BC$ e substituindo-os por três segmentos $AM,MN$ e $NC$, onde $M$ é o ponto médio de $AB$ e $N$ é o ponto médio de $BC$. Em outras palavras, o triângulo $MBN$ é removido e um polígono convexo com lados $n+1$ é obtido. Seja $P_6$ um hexágono regular com área $1$. $P_6$ é cortado e o polígono $P_7$ é obtido. Então $P_7$ é cortado de uma das sete maneiras e o polígono $P_8$ é obtido, e assim por diante. Prove que, independente de como são feitos os cortes, a área de $P_n$ é sempre maior que $2/3$.