Q6 Matemática (Cono Sur Olympiad 2004)

06 | Cono Sur Olympiad | 2004 | Matemática

Sejam $m$ , $n$ inteiros positivos. Em um tabuleiro de xadrez $m \times n$ , dividido em $1 \times 1$ quadrados, consideramos todos os caminhos que vão do vértice superior direito ao vértice inferior esquerdo, percorrendo exclusivamente as linhas da grade, indo para baixo ou para a esquerda. Definimos a área de um caminho como o número de quadrados no tabuleiro de xadrez que estão abaixo desse caminho. Seja $p$ um primo tal que $r_{p} (m) + r_{p} (n) \geq p$ , onde $r_{p} (m)$ denota o resto quando $m$ é dividido por $p$ e $r_{p} (n)$ denota o resto quando $n$ é dividido por $p$ . Quantos caminhos têm uma área que é um múltiplo de $p$ ?