Q3 Matemática  (Caucasus Mathematical Olympiad 2022)

Pete anotou $21$ pares inteiros positivos distintos, cada um não superior a $\mathrm{1.000.000}$. Para cada par $(a,b)$ de números escritos por Pete, Nick escreveu o número $$F(a;b)=a+b-\gcd (a;b)$$ em seu pedaço de papel. Prove que um dos números de Nick difere de todos os números de Pete.