Q5 Matemática  (Caucasus Mathematical Olympiad 2021)

Sejam $a,b,c$ inteiros positivos tais que o produto $$\gcd (a,b)\cdot \gcd (b,c)\cdot \gcd (c,a)$$é um quadrado perfeito. Prove que o produto $$\mathrm{lcm}(a,b)\cdot \mathrm{lcm}(b,c)\cdot \mathrm{lcm}(c,a)$$ também é um quadrado perfeito.