Q15 Matemática (Caucasus Mathematical Olympiad 2018)

15 | Caucasus Mathematical Olympiad | 2018 | Matemática

Em um triângulo de ângulo agudo $A BC$ , as altitudes de $A, B, C$ encontram os lados de $A BC$ em $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ e encontram o círculo circunscrito de $A BC$ em $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ , respectivamente. A linha $A_{1} C_{1}$ intercepta as circunferências dos triângulos $A C_{1} C_{2}$ e $C A_{1} A_{2}$ nos pontos $P$ e $Q$ ( $Q \neq = A_{1}$ , $P \neq = C_{1}$ ). Prove que o círculo $PQ B_{1}$ toca a linha $A C$ .