Q12 Matemática  (Caucasus Mathematical Olympiad 2018)

Morteza coloca uma função $[0,1]\to [0,1]$ (que é uma função com domínio [0,1] e valores de [0,1]) em cada célula de um $n\times n$ quadro. Pavel quer colocar uma função $[0,1]\to [0,1]$ à esquerda de cada linha e abaixo de cada coluna (ou seja, colocar $2n$ funções no total) para que a seguinte condição seja válida para qualquer célula neste quadro: Se $h$ é a função nesta célula, $f$ é a função abaixo de sua coluna e $g$ é a função à esquerda de sua linha, então $h(x)=f(g(x))$ para todos os $x\in [0,1]$. Prove que Pavel sempre pode cumprir seu plano.