Q11 Matemática  (Caucasus Mathematical Olympiad 2018)

Para $2n$ inteiros positivos, um emparelhamento (ou seja, dividi-los em $n$ pares) é chamado {\it não-quadrado} se o produto de dois números em cada par não for um quadrado perfeito. Prove que se houver um emparelhamento não-quadrado, então haverá pelo menos $n!$ emparelhamentos não-quadrados. (Por $n!$ denota o produto $1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$.)