Q3 Matemática  (Benelux 2019)

Dois círculos ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ se cruzam nos pontos $A$ e $Z$ (com $A\ne Z$). Seja $B$ o centro de ${\Gamma }_1$ e seja $C$ o centro de ${\Gamma }_2$. A bissetriz externa de $\angle BAC$ intercepta ${\Gamma }_1$ novamente em $X$ e ${\Gamma }_2$ novamente em $Y$. Prove que a bissetriz interna de $\angle BZC$ passa pelo circuncentro de $△XYZ$. Para os pontos $P,Q,R$ que estão em uma reta $\ell$ nessa ordem, e um ponto $S$ que não está em $\ell$, a bissetriz interna de $\angle PQS$ é a reta que divide $\angle PQS$ em dois ângulos iguais, enquanto a bissetriz externa de $\angle PQS$ é a reta que divide $\angle RQS$ em dois ângulos iguais.