Q4 Matemática  (Benelux 2017)

Um n-quadrado do Benelux (com $n\ge 2$) é uma grade $n\times n$ que consiste em $n^2$ células, cada uma delas contendo um inteiro positivo, satisfazendo as seguintes condições: $\bullet$ o Os inteiros positivos $n^2$ são distintos aos pares. $\bullet$ se para cada linha e cada coluna calcularmos o máximo divisor comum dos $n$ números naquela linha/coluna, obteremos $2n$ resultados diferentes. (a) Prove que, em cada n-quadrado do Benelux (com $n\ge 2$), existe uma célula contendo um número que é pelo menos $2n^2.$ (b) Chame um mínimo de n-quadrado do Benelux se todos os números $n^2$ nas células são no máximo $2n^2.$ Determine todos os $n\ge 2$ para os quais existe um n-quadrado mínimo do Benelux.