Q2 Matemática (Benelux 2017)

02 | Benelux | 2017 | Matemática

Seja $n \geq 2$ um inteiro. Alice e Bob jogam um jogo sobre um país feito de $n$ ilhas. Exatamente duas dessas $n$ ilhas têm uma fábrica. Inicialmente não há ponte no país. Alice e Bob se revezam da seguinte maneira. Em cada turno, o jogador deve construir uma ponte entre duas ilhas diferentes $I_{1}$ e $I_{2}$ de forma que: $∙$ $I_{1}$ e $I_{2}$ não estejam conectados por uma ponte. $∙$ pelo menos uma das duas ilhas $I_{1}$ e $I_{2}$ está conectada por uma série de pontes a uma ilha com uma fábrica (ou tem uma fábrica própria). (Na verdade, é necessário o acesso a uma fábrica para a construção.) Assim que um jogador constrói uma ponte que torna possível ir de uma fábrica a outra, esse jogador perde o jogo. (Na verdade, isso desencadeia uma batalha industrial entre as duas fábricas.) Se Alice começar, determine (para cada $n \geq 2$ ) quem tem uma estratégia vencedora. (Nota: É permitido construir uma ponte passando por cima de outra ponte.)