Q2 Matemática  (Benelux 2014)

Seja $k\ge 1$ um inteiro positivo. Consideramos fichas de $4k$, sendo $2k$ vermelhas e $2k$ azuis. Uma sequência dessas fichas de $4k$ pode ser transformada em outra sequência por um chamado movimento, que consiste em trocar um número (possivelmente um) de fichas vermelhas consecutivas com um número igual de fichas azuis consecutivas. Por exemplo, podemos passar de $r\underline{bb}br\underline{rr}b$ para $r\underline{rr}br\underline{bb}b$ onde $r$ denota um chip vermelho e $b$ denota um chip azul. Determine o menor número $n$ (em função de $k$) tal que a partir de qualquer sequência inicial das fichas de $4k$, precisamos no máximo $n$ movimentos para chegar ao estado em que as primeiras fichas de $2k$ É vermelho.