Q3 Matemática  (Benelux 2013)

Seja $△ABC$ um triângulo com circuncírculo $\Gamma$, e seja $I$ o centro do incircle de $△ABC$. As linhas $AI$, $BI$ e $CI$ cruzam $\Gamma$ em $D\ne A$, $E\ne B$ e $F\ne C$. As retas tangentes a $\Gamma$ em $F$, $D$ e $E$ interceptam as retas $AI$, $BI$ e $CI$ em $R$, $S$ e $T$, respectivamente. Prove que $$|AR|\cdot |BS|\cdot |CT|=|ID|\cdot |IE|\cdot |IF|.$$