Q10 Matemática  (Baltic Way 2020)

Alice e Bob estão brincando de esconde-esconde. Inicialmente, Bob escolhe um ponto fixo secreto $B$ no quadrado unitário. Então Alice escolhe uma sequência de pontos $P_0,P_1,\dots ,P_N$ no plano. Depois de escolher $P_k$ (mas antes de escolher $P_{k+1}$) para $k\ge 1$, Bob diz "mais quente'' se $P_k$ está mais próximo de $B$ do que $P_{k-1}$, caso contrário ele diz "mais frio''. Depois que Alice escolheu $P_N$ e ouviu a resposta de Bob, Alice escolhe um ponto final $A$. Alice vence se a distância $AB$ for no máximo $\frac{1}{2020}$, caso contrário, Bob vence. Mostre que se $N=18$, Alice não pode garantir uma vitória.