Q19 Matemática  (Baltic Way 2017)

Para um inteiro $n\ge 1$, seja $a(n)$ o número total de carregamentos que surgem ao adicionar $2017$ e $n\cdot 2017$. Os primeiros valores são dados por $a(1)=1$, $a(2)=1$, $a(3)=0$, que podem ser vistos a partir do seguinte: $$\begin{array}{rlrlr}001& & 001& & 000\\ 2017& & 4034& & 6051\\ +2017& & +2017& & +2017\\ =4034& & =6051& & =8068\end{array}$$Prove que $$a(1)+a(2)+...+a(10^{2017}-1)=10\cdot \frac{10^{2017}-1}{9}.$$