Q10 Matemática  (Baltic Way 2015)

Um subconjunto $S$ de $1,2,...,n$ é chamado balanceado se para cada $a$ de $S$ existir algum $b$de $S$, $b\ne a$, tal que $\frac{(a+b)}{2}$ também está em $S$. (a) Seja $k>1$ um inteiro e $n=2k$. Mostre que todo subconjunto $S$ de $1,2,...,n$ com $|S|>\frac{3n}{4}$ está balanceado. (b) Existe um $n=2k$, com $k>1$ um inteiro, para o qual todo subconjunto $S$ de $1,2,...,n$ com $|S|>\frac{2n}{3}$ está balanceado?