Q10 Matemática  (Baltic Way 2012)

Dois jogadores $A$ e $B$ jogam o seguinte jogo. Antes do jogo começar, $A$ escolhe 1000 primos ímpares não necessariamente diferentes, e então $B$ escolhe metade deles e os escreve em um quadro-negro. Em cada turno um jogador escolhe um inteiro positivo $n$, apaga alguns primos $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_n$ do quadro-negro e escreve todos os fatores primos de $p_1{p}_2\cdots p_n-2$ em vez disso (se um primo ocorre várias vezes na fatoração de $p_1{p}_2\cdots p_n-2$, ele é escrito quantas vezes ocorrer). O jogador $A$ começa, e o jogador cuja jogada deixa o quadro-negro vazio perde o jogo. Prove que um dos dois jogadores tem uma estratégia vencedora e determine quem. Observação: Como 1 não tem fatores primos, apagar um único 3 é uma jogada legal.