Q13 Matemática  (Baltic Way 2011)

Seja $E$ um ponto interior do quadrilátero convexo $ABCD$. Construa os triângulos $△ABF,△BCG,△CDH$ e $△DAI$ na parte externa do quadrilátero de modo que as semelhanças $△ABF\sim △DCE,△BCG\sim △ADE,△CDH\sim △BAE$ e $△DAI\sim △CBE$ hold. Sejam $P,Q,R$ e $S$ as projeções de $E$ nas linhas $AB,BC,CD$ e $DA$, respectivamente. Prove que se o quadrilátero $PQRS$ é cíclico, então $$EF\cdot CD=EG\cdot DA=EH\cdot AB=EI\cdot BC.$$