Q3 Matemática  (Baltic Way 2007)

Suponha que $F,G,H$ sejam polinômios de grau no máximo $2n+1$ com coeficientes reais tais que: i) Para todo real $x$ temos $F(x)\le G(x)\le H(x)$. ii) Existem números reais distintos $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tais que $F(x_i)=H(x_i)\text{for}i=1,2,3,\dots ,n$ . iii) Existe um número real $x_0$ diferente de $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tal que $F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0)$. Prove que $F(x)+H(x)=2G(x)$ para todos os números reais $x$.