Q3 Matemática  (Baltic Way 2005)

Considere a sequência $\{a_k{\}}_{k\ge 1}$ definida por $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{2}$ e $$a_{k+2}=a_k+frac12a_{k+1}+\frac{1}{4a_k{a}_{k+1}}\text{for}k\ge 1.$$ Prove que $$\frac{1}{a_1{a}_3}+\frac{1}{a_2{a}_4}+\frac{1}{a_3{a}_5}+\cdots +\frac{1}{a_{98}{a}_{100}}<4.$$