Q5 Matemática  (Baltic Way 2001)

Deixe $2001$ determinados pontos em um círculo serem coloridos de vermelho ou verde. Em uma etapa todos os pontos são recoloridos simultaneamente da seguinte maneira: Se ambos os vizinhos diretos de um ponto $P$ têm a mesma cor que $P$, então a cor de $P$ permanece inalterada, caso contrário $P$ obtém a outra cor . Começando com a primeira coloração $F_1$, obtemos as colorações $F_2,F_3,\dots .$ após várias etapas de recoloração. Prove que existe um número $n_0\le 1000$ tal que $F_{n_0}=F_{n_0+2}$. A afirmação também é verdadeira se $1000$ for substituído por $999$?