Q9 Matemática  (Baltic Way 1998)

Sejam os números $\alpha ,\beta$ satisfaçam $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{2}$ e sejam $\gamma$ e $\delta$ os números definidos pelas condições: $(\text{i})0<\gamma <\frac{\pi }{2}$, e $\mathrm{tg}\gamma$ é a média aritmética de $\mathrm{tg}\alpha$ e $\mathrm{tg}\beta$; $(\text{ii})0<\delta <\frac{\pi }{2}$, e $\frac{1}{\cos \delta }$ é a média aritmética de $\frac{1}{\cos \alpha }$ e $\frac{1}{\cos \beta }$. Prove que $\gamma <\delta$.