Q8 Matemática  (Baltic Way 1998)

Seja $P_k(x)=1+x+x^2+\dots +x^{k-1}$. Mostre que $$\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)P_k(x)=2^{n-1}{P}_n\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ para todo número real $x$ e todo inteiro positivo $n$.