Q19 Matemática (Balkan MO Shortlist 2021)

19 | Balkan MO Shortlist | 2021 | Matemática

Seja $A BC$ um triângulo escaleno agudo. Seu círculo $C$ tangente ao segmento $A B$ encontra $A B$ no ponto $M$ e a extensão de $BC$ além de $B$ no ponto $N$ . Analogamente, seu círculo $B$ tangente ao segmento $A C$ encontra $A C$ no ponto $P$ e a extensão de $BC$ além de $C$ no ponto $Q$ . Denote por $A_{1}$ o ponto de intersecção das linhas $MN$ e $PQ$ , e seja $A_{2}$ definido como o ponto, simétrico a $A$ em relação a $A_{1}$ . Defina os pontos $B_{2}$ e $C_{2}$ , analogamente. Prove que $△ A BC$ é semelhante a $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .