Q12 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2021)

Existe uma população $P$ de $10.000$ bactérias, algumas das quais são amigas (a amizade é mútua), de modo que cada bactéria tem pelo menos um amigo e se desejamos atribuir a cada bactéria uma membrana colorida para que não haja dois amigos da mesma cor, existe uma maneira de fazer isso com cores de $2021$, mas não com $2020$ ou menos. Dois amigos $A$ e $B$ podem decidir se fundir, caso em que se tornam uma única bactéria cujos amigos são precisamente a união dos amigos de $A$ e $B$. (Mesclar não é permitido se $A$ e $B$ não forem amigos.) Acontece que não importa como realizamos uma mesclagem ou duas mesclagens consecutivas, na população resultante seria possível atribuir cores de $2020$ ou menos. que dois amigos não têm a mesma cor. É verdade que em qualquer população $P$ cada bactéria tem pelo menos $2021$ amigos?