Q10 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2021)

Uma sequência de $2n+1$ inteiros não negativos $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ é dada. Há também uma sequência de $2n+1$ células consecutivas enumeradas de $1$ a $2n+1$ da esquerda para a direita, tal que inicialmente o número $a_i$ é escrito na célula $i$-th, para $i=1,2,...,2n+1$. A partir desta posição inicial, repetimos a seguinte sequência de passos, enquanto for possível: Passo 1: Some os números escritos em todas as células, denote a soma como $s$. Passo 2: Se $s$ for igual a $0$ ou se for maior que o número atual de células, o processo termina. Caso contrário, remova a célula $s$-th e desloque todas as células que estão à direita dela uma posição para a esquerda. Em seguida, vá para a Etapa 1. Exemplo: $(1,0,1,\underline{2},0)\to (1,\underline{0},1,0)\to (1,\underline{1},0)\to (\underline{1},0)\to (0)$. Uma sequência $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ de inteiros não negativos é chamado de balanceado, se ao final desse processo resta exatamente uma célula, e é a célula que foi inicialmente enumerada por $(n+1)$, ou seja, a célula que estava inicialmente no meio. Encontre o número total de sequências balanceadas em função de $n$. Proposto por Viktor Simjanoski, Macedônia do Norte