Q4 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2021)

Sejam $f,g$ funções dos inteiros positivos para os inteiros. Vlad, o impala, está pulando na grade de números inteiros. Sua posição inicial é $x_0=(0,0)$, e para cada $n\ge 1$, seu salto é $x_n-x_{n-1}=(\pm f(n),\pm g(n)))$ ou $(\pm g(n),\pm f(n)),$ com oito possibilidades no total. É sempre possível que Vlad possa escolher seus saltos para retornar à sua localização inicial $(0,0)$ infinitas vezes quando (a) $f,g$ são polinômios com coeficientes inteiros? (b) $f,g$ são quaisquer pares de funções dos inteiros positivos para os inteiros?