Q14 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2020)

Considere um inteiro $n\ge 2$ e um primo ímpar $p$. Seja $U$ o conjunto de todos os inteiros positivos $($estritamente$)$ menores que $p^n$ que não são divisíveis por $p$, e seja $N$ o número de elementos de $U$. Existe permutação $a_1,a_2,\cdots a_N$ dos números em $U$ tal que a soma ${\sum }_{k=1}^N{a}_k{a}_{k+1}$, onde $a_{N+1}=a_1$, ser divisível por $p^{n-1}$ mas não por $p^n$? $AlexanderIvanovBulg\acute{a}ria$