Q11 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2020)

Várias crianças $N$ estão em uma festa e sentam-se em círculo para jogar um jogo de Passe e Parcela. Como o anfitrião não tem outra forma de entretenimento, o pacote tem infinitas camadas. No turno $i$, começando com $i=1$, as duas coisas a seguir acontecem em ordem: $(1)$ O pacote é passado $i^2$ posições no sentido horário; e $(2)$ A criança que está segurando o pacote desembrulha uma camada e recebe o prêmio dentro. Por quais valores de $N$ cada criança receberá um prêmio? $PatrickWinterReinoUnidoReinoUnido$