Q20 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2019)

Seja $S\subset \{1,\dots ,n\}$ um conjunto não vazio, onde $n$ é um inteiro positivo. Denotamos por $s$ o máximo divisor comum dos elementos do conjunto $S$. Assumimos que $s\ne 1$ e seja $d$ seu menor divisor maior que $1$. Seja $T\subset \{1,\dots ,n\}$ um conjunto tal que $S\subset T$ e $|T|\ge 1+\left[\frac{n}{d}\right]$. Prove que o máximo divisor comum dos elementos em $T$ é $1$. [Segunda Versão] Seja $n(n\ge 1)$ um inteiro positivo e $U=\{1,\dots ,n\}$. Seja $S$ um subconjunto não vazio de $U$ e seja $d(d\ne 1)$ o menor divisor comum de todos os elementos do conjunto $S$. Encontre o menor inteiro positivo $k$ tal que para qualquer subconjunto $T$ de $U$, consistindo de $k$ elementos, com $S\subset T$, o máximo divisor comum de todos os elementos de $T$ seja igual a $1$.