Q18 Matemática (Balkan MO Shortlist 2019)

18 | Balkan MO Shortlist | 2019 | Matemática

Dado o semicírculo $(c)$ com diâmetro $A B$ e centro $O$ . No $(c)$ tomamos o ponto $C$ tal que a tangente no $C$ intercepta a reta $A B$ no ponto $E$ . A linha perpendicular de $C$ a $A B$ intercepta o diâmetro $A B$ no ponto $D$ . No $(c)$ obtemos os pontos $H, Z$ tais que $C D = C H = CZ$ . A linha $H Z$ intercepta as linhas $CO, C D, A B$ nos pontos $S, I, K$ respectivamente e a linha paralela de $I$ à linha $A B$ intercepta as linhas $CO, C K$ no pontos $L, M$ respectivamente. Consideramos o circuncírculo $(k)$ do triângulo $L M D$ , que cruza novamente as retas $A B, C K$ nos pontos $P, U$ respectivamente. Sejam $(e_{1}), (e_{2}), (e_{3})$ as tangentes de $(k)$ nos pontos $L, M, P$ respectivamente e $R = (e_{1}) \cap (e_{2})$ , $X = (e_{2}) \cap (e_{3})$ , $T = (e_{1}) \cap (e_{3})$ . Prove que se $Q$ é o centro de $(k)$ , então as linhas $R D, T U, XS$ passam pelo mesmo ponto, que está na linha $I Q$ .