Q17 Matemática (Balkan MO Shortlist 2019)

17 | Balkan MO Shortlist | 2019 | Matemática

Dado um triângulo agudo $A BC$ , $(c)$ é o seu círculo circunscrito com centro $O$ e $H$ o ortocentro do triângulo $A BC$ . A linha $A O$ intercepta $(c)$ no ponto $D$ . Sejam $D_{1}, D_{2}$ e $H_{2}, H_{3}$ os pontos simétricos dos pontos $D$ e $H$ em relação às linhas $A B, A C$ respectivamente. Seja $(c_{1})$ a circunferência do triângulo $A D_{1} D_{2}$ . Suponha que a linha $A H$ cruza novamente $(c_{1})$ no ponto $U$ , a linha $H_{2} H_{3}$ intercepta o segmento $D_{1} D_{2}$ no ponto $K_{1}$ e a linha $D H_{3}$ intercepta o segmento $U D_{2}$ no ponto $L_{1}$ . Prove que um dos pontos de intersecção das circunferências dos triângulos $D_{1} K_{1} H_{2}$ e $U D L_{1}$ está na reta $K_{1} L_{1}$ .