Q1 Matemática (Balkan MO Shortlist 2019)

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Seja $a_{0}$ um inteiro positivo arbitrário. Considere a sequência infinita $(a_{n})_{n \geq 1}$ , definida indutivamente como segue: dado $a_{0}, a_{1}, ..., a_{n - 1}$ defina o termo $a_{n}$ como o menor inteiro positivo tal que $a_{0} + a_{1} + ... + a_{n}$ é divisível por $n$ . Prove que existe um inteiro positivo um inteiro positivo $M$ tal que $a_{n + 1} = a_{n}$ para todo $n \geq M$ .