Q14 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2018)

Seja $ABC$ um triângulo agudo com $AB<AC<BC$ e seja $D$ um ponto na extensão de $BC$ em direção a $C$. O círculo $c_1$, com centro $A$ e raio $AD$, intercepta as linhas $AC,AB$ e $CB$ nos pontos $E,F$ e $G$, respectivamente. O círculo circunscrito $c_2$ do triângulo $AFG$ cruza novamente as linhas $FE,BC,GE$ e $DF$ nos pontos $J,H,H^{\prime }$ e $J^{\prime }$, respectivamente. O círculo circunscrito $c_3$ do triângulo $ADE$ cruza novamente as linhas $FE,BC,GE$ e $DF$ nos pontos $I,K,K^{\prime }$ e $I^{\prime }$ respectivamente. Prove que os quadriláteros $HIJK$ e $H^{\prime }{I}^{\prime }{J}^{\prime }{K}^{\prime }$ são cíclicos e os centros de seus círculos circunscritos coincidem. por Evangelos Psychas, Grécia