Q9 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2018)

Um colar aberto pode conter rubis, esmeraldas e safiras. A cada passo podemos realizar qualquer uma das seguintes operações: Podemos substituir dois rubis consecutivos por uma esmeralda e uma safira, onde a esmeralda está à esquerda da safira. Podemos substituir três esmeraldas consecutivas por uma safira e um rubi, onde a safira está à esquerda do rubi. Se encontrarmos duas safiras consecutivas, podemos removê-las. Se encontrarmos consecutivamente e nesta ordem um rubi, uma esmeralda e uma safira, podemos removê-los. Além disso, também podemos reverter todas as operações acima. Por exemplo, invertendo 3. podemos colocar duas safiras consecutivas em qualquer posição que desejarmos. Inicialmente o colar tem uma safira (e nenhuma outra pedra preciosa). Decida, com provas, se existe uma sequência finita de passos tal que no final desta sequência o colar contenha uma esmeralda (e nenhuma outra pedra preciosa). Observação: Um colar está aberto se suas pedras preciosas estiverem em uma linha da esquerda para a direita. Não temos permissão para mover uma pedra preciosa da posição mais à direita para a mais à esquerda, como faríamos se o colar estivesse fechado. Proposto por Demetres Christofides, Chipre