Q3 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2018)

Mostre que para cada inteiro positivo $n$ temos: $$\sum _{k=0}^n{\left(\frac{2n+1-k}{k+1}\right)}^k={\left(\frac{2n+1}{1}\right)}^0+{\left(\frac{2n}{2}\right)}^1+...+{\left(\frac{n+1}{n+1}\right)}^n\le 2^n$$Proposto por Dorlir Ahmeti, Albânia