Q20 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2017)

Dado um triângulo agudo $ABC$ ($AC\ne AB$) e seja $(C)$ sua circunferência. O excírculo $(C_1)$ correspondente ao vértice $A$, de centro $I_a$, tangente ao lado $BC$ no ponto $D$ e às extensões dos lados $AB,AC$ nos pontos $E,Z$ respectivamente. Sejam $I$ e $L$ os pontos de intersecção dos círculos $(C)$ e $(C_1)$, $H$ o ortocentro do triângulo $EDZ$ e $N$ o ponto médio do segmento $EZ$. A linha paralela que passa pelo ponto $l_a$ até a linha $HL$ encontra a linha $HI$ no ponto $G$. Prove que a reta perpendicular $(e)$ do ponto $N$ até a reta $BC$ e a reta paralela $(\delta )$ do ponto $G$ até a reta $IL$ se encontram na reta $H{I}_a$.