Q14 Matemática (Balkan MO Shortlist 2016)

14 | Balkan MO Shortlist | 2016 | Matemática

Dado que $A BC$ é um triângulo onde $A B < A C$ . Nas meias-linhas $B A$ e $C A$ tomamos os pontos $F$ e $E$ respectivamente tais que $BF = CE = BC$ . Sejam $M, N$ e $H$ os pontos médios dos segmentos $BF, CE$ e $BC$ respectivamente e $K$ e $O$ os circuncentros dos triângulos $A BC$ e $MN H$ respectivamente . Assumimos que $O K$ corta $BE$ e $H N$ nos pontos $A_{1}$ e $B_{1}$ respectivamente e que $C_{1}$ é o ponto de intersecção de $H N$ e $FE$ . Se a reta paralela de $A_{1}$ a $O C_{1}$ corta a reta $FE$ em $D$ e a perpendicular de $A_{1}$ à reta $D B_{1}$ corta $FE$ no ponto $M_{1}$ , prove que $E$ é o ortocentro do triângulo $A_{1} O M_{1}$ .